Вектори
Введіть координати двох векторів — одразу побачите суму, різницю, довжину й кут між ними.
Скільки разів ви шукали, як додавати вектори або як обчислити кут між векторами? Саме для цього ця сторінка.
Формули для векторів на площині
Для векторів u=(u₁,u₂) і v=(v₁,v₂):
Сума: u + v = (u₁+v₁, u₂+v₂)
Різниця: u − v = (u₁−v₁, u₂−v₂)
Довжина: |u| = √(u₁² + u₂²)
Скалярний добуток: u · v = u₁×v₁ + u₂×v₂
Кут: cos(φ) = (u · v) / (|u| × |v|)
Якщо скалярний добуток дорівнює 0, вектори перпендикулярні (кут 90°) — незалежно від їхньої довжини.
Часті запитання
Як додаються вектори?
Вектори додаються по компонентах — додаються x-координати й окремо y-координати. Для u=(u1,u2) і v=(v1,v2) справедливо u+v=(u1+v1, u2+v2).
Що таке скалярний добуток і для чого він потрібен?
Скалярний добуток двох векторів — це число (скаляр), яке виникає при множенні відповідних компонент і їх додаванні. Використовується головним чином для обчислення кута між векторами і для визначення, чи є вони перпендикулярними (скалярний добуток тоді дорівнює 0).
Як визначити, що два вектори перпендикулярні?
Два ненульові вектори перпендикулярні (ортогональні) тоді й лише тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю.
Як обчислюється довжина (модуль) вектора?
Довжина вектора v=(x,y) обчислюється за теоремою Піфагора як корінь із суми квадратів компонент: |v| = √(x² + y²).