Векторы
Введите координаты двух векторов — сразу увидите сумму, разность, длину и угол между ними.
Сколько раз вы искали как сложить векторы или как вычислить угол между векторами? Именно для этого эта страница.
Формулы для векторов на плоскости
Для векторов u=(u₁,u₂) и v=(v₁,v₂):
Сумма: u + v = (u₁+v₁, u₂+v₂)
Разность: u − v = (u₁−v₁, u₂−v₂)
Длина: |u| = √(u₁² + u₂²)
Скалярное произведение: u · v = u₁×v₁ + u₂×v₂
Угол: cos(φ) = (u · v) / (|u| × |v|)
Если скалярное произведение равно 0, векторы перпендикулярны (угол 90°) — независимо от их длины.
Частые вопросы
Как складывают векторы?
Векторы складываются покомпонентно — отдельно складываются x-координаты и отдельно y-координаты. Для u=(u1,u2) и v=(v1,v2) верно u+v=(u1+v1, u2+v2).
Что такое скалярное произведение и для чего оно нужно?
Скалярное произведение двух векторов — это число (скаляр), которое получается умножением соответствующих компонент и их сложением. Используется в основном для вычисления угла между векторами и для проверки их перпендикулярности (скалярное произведение тогда равно 0).
Как определить, что два вектора перпендикулярны?
Два ненулевых вектора перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Как вычисляется длина (модуль) вектора?
Длина вектора v=(x,y) вычисляется по теореме Пифагора как корень из суммы квадратов компонент: |v| = √(x² + y²).