Wektory
Wpisz współrzędne dwóch wektorów — od razu widzisz sumę, różnicę, długość i kąt między nimi.
Ile razy szukałeś, jak dodać wektory albo jak obliczyć kąt między wektorami? Dokładnie do tego służy ta strona.
Wzory dla wektorów w płaszczyźnie
Dla wektorów u=(u₁,u₂) i v=(v₁,v₂):
Suma: u + v = (u₁+v₁, u₂+v₂)
Różnica: u − v = (u₁−v₁, u₂−v₂)
Długość: |u| = √(u₁² + u₂²)
Iloczyn skalarny: u · v = u₁×v₁ + u₂×v₂
Kąt: cos(φ) = (u · v) / (|u| × |v|)
Jeśli iloczyn skalarny wynosi 0, wektory są prostopadłe (kąt 90°) — niezależnie od ich długości.
Często zadawane pytania
Jak się dodaje wektory?
Wektory dodaje się składową po składowej — sumuje się oddzielnie współrzędne x i oddzielnie y. Dla u=(u1,u2) i v=(v1,v2) zachodzi u+v=(u1+v1, u2+v2).
Czym jest iloczyn skalarny i do czego służy?
Iloczyn skalarny to liczba (skalar) powstała przez pomnożenie odpowiadających sobie składowych i zsumowanie wyników. Służy głównie do obliczania kąta między wektorami i sprawdzenia, czy są prostopadłe (wtedy iloczyn skalarny = 0).
Jak rozpoznać, że dwa wektory są prostopadłe?
Dwa niezerowe wektory są prostopadłe (ortogonalne) wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zeru.
Jak obliczyć długość (moduł) wektora?
Długość wektora v=(x,y) oblicza się zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa jako pierwiastek z sumy kwadratów składowych: |v| = √(x² + y²).