Vektoren
Koordinaten zweier Vektoren eingeben — Summe, Differenz, Betrag und der Winkel zwischen ihnen erscheinen sofort.
Wie oft haben Sie gesucht, wie man Vektoren addiert oder wie man den Winkel zwischen Vektoren berechnet? Genau dafür ist diese Seite.
Formeln für Vektoren in der Ebene
Für Vektoren u=(u₁,u₂) und v=(v₁,v₂):
Summe: u + v = (u₁+v₁, u₂+v₂)
Differenz: u − v = (u₁−v₁, u₂−v₂)
Betrag: |u| = √(u₁² + u₂²)
Skalarprodukt: u · v = u₁×v₁ + u₂×v₂
Winkel: cos(φ) = (u · v) / (|u| × |v|)
Ergibt das Skalarprodukt 0, stehen die Vektoren senkrecht zueinander (Winkel 90°) — unabhängig von ihrem Betrag.
Häufige Fragen
Wie werden Vektoren addiert?
Vektoren werden komponentenweise addiert — die x-Koordinaten werden addiert und separat die y-Koordinaten. Für u=(u1,u2) und v=(v1,v2) gilt u+v=(u1+v1, u2+v2).
Was ist das Skalarprodukt und wofür wird es verwendet?
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl (ein Skalar), die entsteht, indem die entsprechenden Komponenten multipliziert und addiert werden. Es wird vor allem zur Berechnung des Winkels zwischen Vektoren und zur Feststellung verwendet, ob sie senkrecht zueinander stehen (das Skalarprodukt ist dann 0).
Wie erkenne ich, dass zwei Vektoren senkrecht zueinander stehen?
Zwei von null verschiedene Vektoren stehen genau dann senkrecht (orthogonal) zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist.
Wie wird der Betrag (die Länge) eines Vektors berechnet?
Der Betrag eines Vektors v=(x,y) wird nach dem Satz des Pythagoras berechnet, als Wurzel aus der Summe der Quadrate der Komponenten: |v| = √(x² + y²).